Matematica e scienze

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Un triangolo rettangolo è sempre in­scrit­ti­bi­le in una semicirconferenza

Con questo post torniamo a parlare di geometria e lo facciamo presentando un altro utilissimo strumento – diverso e più duttile rispetto alle animazioni segnalate il mese scorso – che le moderne tecnologie informatiche ci mettono a disposizione per apprenderla: si tratta di GeoGebra, un software di geometria dinamica freeware che ci permette di disegnare figure sia in due che in tre dimensioni e poi di manipolarle a piacere per studiarne e scoprirne le proprietà.

Giusto per darvi un assaggio delle potenzialità di questa fantastica applicazione, abbiamo provveduto a costruire un foglio di lavoro tramite il quale farvi esplorare una proprietà notevole del triangolo rettangolo: il fatto che il suo circocentro coincida sempre con il punto medio dell’ipotenusa (da cui segue che quest’ultima rappresenta anche il diametro della semicirconferenza che lo circoscrive).

Analogamente a quanto già scritto a proposito del gioco realizzato in Scratch del post precedente a questo, vale infine la pena segnalare che anche l’applet qui presentata è meglio fruibile nella pagina a essa dedicata sul portale GeoGebraTube, altra vera e propria miniera di materiali caricati e condivisi dagli utenti di una community internazionale composta – come piace a noi! – sia da insegnanti che da studenti e persone comuni, tutti accomunati in primo luogo dalla voglia di insegnare e imparare divertendosi.

Equazioni, un gioco da ragazzi! (con Scra­tch)

Dopo due post di geometria, è giunto il momento di dedicare un po’ di spazio anche all’algebra. Come dite, ne avreste fatto volentieri anche a meno? Beh, ma così vi sareste persi la possibilità di scoprire che pure questa disciplina può essere affrontata in modo non barboso e, anzi – ci spingiamo a dire – addirittura (quasi?) divertente!

Pensiamo, ad esempio, alle equazioni di primo grado (dette spesso anche equazioni lineari): invece che (non?) imparare a risolverle provando ad automatizzare solo sterili procedure meccaniche, noi vi proponiamo di interiorizzare i principi di equivalenza su cui si basano tutti i procedimenti sviluppati per risolverle cimentandovi con un giochino articolato in sette livelli in grado di proporvi di volta in volta sempre nuove equazioni generate in maniera casuale, ma di difficoltà via via crescente.

Il gioco è realizzato in Scratch (un’applicazione ideata dal Massachusetts Institute of Technology per avviare alla programmazione informatica i bambini fin dalla scuola primaria) e non è altro che l’adattamento italiano di una risorsa didattica originariamente prodotta da Terence Tao, uno dei più grandi matematici viventi (vincitore della medaglia Fields – il più alto riconoscimento per un matematico, una sorta di premio Nobel – nel 2006, a soli trentuno anni!) eppure così umile da non aver disdegnato di investire parte del proprio tempo in favore di una “gamification” dell’algebra tesa a renderla più divertente e accessibile a tutti.

La risorsa si fruisce semplicemente cliccando sui personaggi (non sui fumetti che escono dalle loro teste!) per manipolare l’equazione di volta in volta proposta al fine di cercare di risolverla in quante meno mosse possibile. Il gioco è in grado di riconoscere l’abilità del solutore e di gratificarla mostrando (o meno) dei messaggi di complimenti. Ogni volta che un’equazione risulterà risolta apparirà sulla destra un personaggio speciale cliccando sul quale si potrà accedere al livello successivo fino a che non li si avrà terminati tutti. Buon divertimento!

In caso il gioco vi abbia incuriosito, teniamo poi a segnalare che esso, oltre che visualizzato direttamente su questa pagina web, può essere fruito anche tramite la pagina che gli è specificamente dedicata sul portale del progetto Scratch, il quale siete del resto comunque caldamente invitati a visitare sia perché ospita tante ulteriori risorse caricate e condivise dai numerosi membri della community internazionale che vi ruota intorno sia perché lo scopo primario di Scratch non è tanto quello di fruire le risorse prodotte da altri, bensì quello di imparare a realizzarne di proprie, avvicinandosi alla pratica del coding e, possibilmente, impadronendosene fino a un livello tale da saper magari, un giorno, produrre giochi anche più belli e divertenti di quello qui presentato! (Questo è senz’altro il nostro augurio, ma sappiate fin d’ora che vi occorreranno impegno e costanza.)

Ulteriori animazioni sulla formula del­l’area del cerchio

La giustificazione di qualche giorno fa della formula per l’area del cerchio tramite una semplice gif animata vi era piaciuta? Bene, a testimonianza del fatto che non fosse l’unica possibile, ve ne proponiamo altre due varianti illustrate da nuove animazioni.

Eccovi la prima:

 

Unroll circle area

(fonte: http://blog.matthen.com/post/98459487701/unrolling-these-circles-fills-a-triangle-with-base)

 

…e, di seguito, anche la seconda:

Pie Are Square

(fonte: http://commons.wikimedia.org/wiki/File%3APie_Are_Square.gif?uselang=it)

Ah, questa volta lasciamo a voi tradurre in formule la giustificazione suggerita dalle due gif animate: provateci, è istruttivo e vi aiuterà a non scordare la formula dell’area del cerchio davvero mai più!

Capire la formula dell’area del cerchio tramite un’animazione

Quando a scuola si trattano le formule per le aree delle principali figure piane non è raro che quella per l’area del cerchio venga lasciata da studiare senza fornirne una giustificazione, col risultato che risulta spesso la più difficile da tenere a mente nonché quella ricordata con meno esattezza.

Ebbene, sfruttando gli strumenti che le moderne tecnologie informatiche ci mettono a disposizione, è possibile invece visualizzarne una giustificazione (attenzione: non l’unica possibile!) che mostra in maniera semplicissima e molto convincente come ogni cerchio sia equivalente a un rettangolo avente per base la lunghezza della circonferenza e per altezza il suo raggio e dunque perché la sua superficie sia proprio S=(L/2)·R=((2·π·R)/2)·r=(π·R)·R=R^2·π.

 

Equation in circle proved by the method of indivisibles

 

Per i più interessati ad approfondire, può valere la pena di segnalare anche che il procedimento qui illustrato mediante la soprastante animazione non è altro che un’istanza piuttosto elementare di un metodo molto più generale, noto come metodo degli indivisibili e tradizionalmente attribuito all’italiano Bonaventura Cavalieri (1598-1647), ma in realtà già ricavato fin dall’antichità dal grandissimo Archimede (a partire dal metodo di esaustione di Eudosso di Cnido).

Infine i credits; la gif animata è tratta da qui:
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Equation_in_circle_proved_by_the_method_of_indivisibles.gif?uselang=it.

Classificazione dei triangoli in base ai lati e agli angoli

Fate spesso confusione tra i vari tipi di triangoli, non ricordate mai se il triangolo scaleno sia quello con tutti e tre i lati uguali o diversi, pensate ancora che un triangolo ottusangolo sia tale solo se ha tre angoli ottusi? Bene, questa innovativa mappa animata in formato video è proprio quello che fa per voi: guardatela e imparerete la classificazione dei triangoli una volta per tutte!

La mappa vi è piaciuta e siete convinti di aver capito tutto, ma temete ugualmente che tra qualche tempo la vostra memoria vi tradirà e i vostri dubbi riemergeranno? Nessun problema: qui e qui potete scaricare la mappa anche in due formati statici in modo che possiate stamparla e tenerla sempre per voi! (E poi, naturalmente, potete anche aggiungere il video ai vostri preferiti e andarlo a riguardare ogni volta che ne avrete la necessità… ;-))

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